Antal reella lösningar

pq-formeln

I det förra avsnittet stötte vi på kvadratkomplettering, likt är en metod såsom vi kan använda på grund av att lösa fullständiga andragradsekvationer. I det här avsnittet ska vi gå igenom ytterligare en metod till lösning av fullständiga andragradsekvationer, nämligen pq-formeln. Pq-formeln går att härledas med hjälp av kvadratkomplettering och existerar en mycket praktiskt användbar metod.

Som vi har sett tidigare kan fullständiga andragradsekvationer skrivas på formen

$$ax^{2}+bx+c=0$$

där a, b och c existerar konstanter, och a existerar skilt från noll.

För för att kunna använda den teknik som vi introducerar inom det här avsnittet, den så kallade pq-formeln, behöver vi först skriva angående denna allmänna ekvation, således att andragradsekvationen står vid formen

$$x^{2}+px+q=0$$

vilket vi gör genom att dividera samtliga begrepp i ekvationen med koefficienten a (om a äger något annat värde än 1; om a = 1, så innebär detta att divisionen inte behöver utföras).

Detta är samma önskade form som vi stötte på i avsnittet

För att ange antalet lösningar till en andragradsekvation kan man använda pq-formeln. Är diskriminanten större än noll är antalet lösningar två, är den noll har ekvationen en lösning och är den mindre än noll finns det inga reella lösningar. Vi undersöker diskriminanten. 1 andragradsekvation utan reella lösningar exempel 2 Reella tal är de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen. Mängden av alla reella tal betecknas vanligen ℝ eller R. 3 diskriminanten 4 Reella tal innefattar alla tal som kan skrivas på tallinjen. Detta är de naturliga talen, alla heltal, alla rationella tal samt alla tal som inte kan skrivas som ett bråk såsom pi. Inom matematiken brukar de reella talen betecknas med bokstaven R. Nedan ser du en förklarande bild på vad reella tal är. 5 Alla tal som går att pricka ut på en tallinje är reella tal. Då ingår positiva tal, negativa tal, heltal, bråktal som 3/4, pi, osv. Kort sagt, alla "vanliga" tal, eller det man brukar mena med just "tal". Det som *inte* ingår är komplexa / imaginära tal som - 1 (talet i). 0. #3. 6 Vi har tidigare försökt att hitta reella lösningar som är heltäckande. more_vert. Vi inser att det finns ett antal reella problem på den inre marknaden. 7 pq-formeln exempel 8 Diskriminanten: uttrycket under rottecknet i pq-formeln, som avgör hur många reella lösningar vi får. 9 Antal lösningar till en andragradsekvation. 10 Komplexa lösningar till ekvationer såsom 1 + i 1 + i till x x + 2 = 0 x^2 - 2x + 2 = 0 är fortfarande tal eftersom de har en aritmetik (man kan addera och multiplicera dem) men de är inte reella tal eftersom de representerar inte storleksförhållanden). Sedan är saker som geometriska figurer såsom trianglar eller kurvor rakt av inte. 11

Reella lösningar

För att se angående en andragradsekvation har enstaka, två, eller inga reella lösningar så sätter man in ekvationen i pq-formeln, . Notera att innan ni sätter in ekvationen inom pq-formeln måste ekvationen existera skriven på normalform, x2 + px + q = 0 där p samt q är konstanter. Din ekvation har p-värdet 4 och q-värdet 6. detta enda lilla är för att du har ett annat tal a framför x2-termen (vi kunna tillfälligt kalla det till a så du ej blandar ihop p-värdet 4 med detta p:et framför x2-termen). Din ekvation är  inte skriven på normalform eftersom du har en tal framför x2-termen (en koefficient), ax2 + 4x + 6 = 0. Den måste vi få försvunnen innan vi kan utföra insättningen i pq-formeln. oss delar då båda leden med a och får då . Nu kan vi sätta in allt i pq-formeln och får då: . detta vi är intresserade från är för vilka värden på a blir allt vilket står under rottecknet (diskriminanten) negativt alltså mindre än noll. Du ska m